黄金比

以前このブログで「黄金角」のことを書きました。このブログはアクセス数が多くはありませんが、「黄金角」の記事は他より多くのアクセスをいただいています。2匹目のどじょうはねらえるのでしょうか…。

そもそも黄金角とは、360°の角度を黄金比で分けたものですが、黄金比とは、およそ1:1.6の比率のことで、整数比で書くとおよそ5:8、ということになります。厳密には

となります。

数学者ユークリッドは、「ある線分において、全体に対する長い部分の比が、長い部分に対する短い部分の比と等しくなるとき、線分は黄金比で分けられている」と定義しています。

上の図では、ｃ：ａ ＝ ａ：ｂ となります。ｃ＝ａ＋ｂ なので、ａ＋ｂ：ａ＝ａ：ｂ と書き換えられます。

これは比例式というもので、外側2つをかけたものと内側2つをかけたものが等しくなります。よって

移項して

これをaについての2次方程式と考えると、

という解が得られます。今、ａはｂより大きい、としているので、ａとｂの比は上に書いたとおりになります。

ユークリッドは紀元前300年頃の人ですが、黄金比は、それ以前にギリシアのパルテノン神殿（紀元前440年頃）や、その後のレオナルド・ダ・ビンチ（15～16世紀）の設計図や絵画にも現れています。ユークリッドは黄金比を発見したわけではなく、人々に紹介する役目を果たしたといえるでしょう。

黄金比は正五角形やフィボナッチ数列などとも関係がありますが、それについてはまた書いてみたいと思います。